Варианты ЕГЭ 2011 с ДВ

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:56 PM | Сообщение # 16

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

Москва 4

В1. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 1100 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 7 недель?
решение (1100/250)*7=30,8
Ответ: 31

В2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Мурманске с 8 до 23 ноября 1995 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день, а миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. определите по рисунку наибольшее суточное количество осадков, выпавших за этот период. Ответ дайте в миллиметрах.
В2 Ответ: 4,5

В3. Найдите корень уравнения sqrt(33-2*x)=5
решение 33-2х=25 => 2x=8 => x=4
Ответ: 4

B4. В треугольнике АВС AD - биссектриса, угол С равен 96 градусам, угол CAD равен 5 градусам. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах
решение 180 - 2*15 - 96 = 54
Ответ: 54

В5. В таблице указаны средние цены (в рублях) на которые основные продукты питания в трех городах России (по данным начало 2010 года)
Определите в каком из этих городов окжется самым дешевым следующий набор продуктов:3 батона пшеничного хлеба, 2 кг картофеля, 1 кг говядины. В ответ запишите стоимость данногго набора продуктов в этом городе (в руб)B8: На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абциссой x_0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х_0

В6. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1ч1 см (см. рис.) Ответ дайте в квадратных см.

В7.Найдите sin a, если cos a=2qrt6\5 и а in (3П\2;2П)

В9: Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

В10: В ходе распада радиактивного изотопа его масса уменьшается по закону m®=m_0*2^(-t/T), где m_0 (мг) - начальная масса изотопа, t (мин.) - время, прошедшее от начала момента, T (мин.) - период полураспада. Вначальный момент времени масса изотопа m_0=200 мг. Период его полураспада T=4 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?.

В11: Найдите наимен ьшее значение функции y=x^3+8x^2+20x-1 на отрезке [-3;5]

B12: Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Известно, что за час мотоциклист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1.5 часа позже

С1: Решите уравнение(6*sin^2(x)+5*sin(x)-4)*sqrt(-7*cos(x))=0\
решение
ОДЗ.
cos x <=0

это уравнение эквивалентно следующей совокупности на множестве ОДЗ:
(6*sin^2(x)+5*sin(x)-4)=0
sqrt(-7*cos(x))

решение второго уравнения:
sqrt(-7*cos(x))=0
cos x = 0
x = pi/2*k, k in ZZ

решение первого уравнения.
(6*sin^2(x)+5*sin(x)-4)=0
sin x = t, t in [-1;1] (*)
6t^2+5t-4=0
t=-4/3 - противоречие (*)
t = 1/2 - ок.

sin x = 1/2 <=> x =(-1)^npi/6+pi*n, n in ZZ
пересекаем с ОДЗ. x= 5pi/6+2pi*n, n in ZZ

Ответ: x= 5pi/6+2pi*n, n in ZZ;x = pi*k/2, k in ZZ

C2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны основания которой равны 3,а боковые ребра равны 4, найдите расстояние от точки С до прямой D1E1.

решение

Пусть О - центр правильного шестиугольника ABCDEF.
Тогда прямая СО параллельна DE, которая параллельна D1E1, расстояние от точки С до D1E1 равно расстоянию от точки О до D1E1.

Треугольник DOE равнобедренный. Пусть ОR - перпендикуляр и медиана на DE из точки О. В плоскости DD1E1E из точки R восстановим перепндикуляр RT, где Т лежит на D1E1. По теореме о трёх перпендикулярах наклонная ТО перпендикулярна D1E1, т.к. её проекция перпендикулярна DE, параллельной с D1E1. Значит, ТО - искомое расстояние. Найдём его из прямоугольного треугольника ORT.

OR равен радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности, т.е. OR=3*sqrt(3)/2. ТR=4, т.к. TR перпендикуляр между верхним и нижним основаниями, то есть равен боковому ребру. По теореме Пифагора TR^2=4^2 + (3*sqrt(3)/2)^2= 16+27/4=91/4.
TR=sqrt(91)/2

Ответ: sqrt(91)/2

C3. Решите неравенство 7*log_3(x^2-7*x+12)<=8+log_3 (((x-3)^2)/(x-4))
Одз

x!=4
(x-3)/(x-4) >0
x<3 UUU x>4

1 случай x>4
7*log_3(x^2-7*x+12)<=8+log_3 (((x-3)^2)/(x-4)) + log_3((x-4)^7) - log_3((x-4)^7)
т.к. (x^2-7*x+12)=(x-3)*(x-4)
7*log_3(x^2-7*x+12)<=8+7log_3 (x^2-7*x+12) - log_3((x-4)^8)
log_3(x-4)<=1
Значит x-4<=3
x<=7
Накладываем на Одз
и получаем 4
2 случай x<3

7*log_3(x^2-7*x+12)<=8+log_3 (((x-3)^2)/(x-4)) + log_3(-(x-4)^7) - log_3(-(x-4)^7)
т.к. (x^2-7*x+12)=(x-3)*(x-4)
7*log_3(x^2-7*x+12)=>8+7log_3 (x^2-7*x+12) - log_3(-(x-4)^8)
log_3(-x+4)<=1
Значит -x+4<=3
x=>1
Накладываем на Одз
и получаем 1<=x<3

Ответ x=[1;3)UUU(4;7]

C4. Прямая перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите площадь этого четырехугольника.

С5. Найдите все положительные корни значения а, при каждом из которых система
{(|x|-5)^2 + (y-4)^2 =9,
{(x-2)^2+y^2 = a^2
имеет единственное решение.

С6. На доске написано более 52, но менее 60 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 3, среднее арифметическое всех положительных из них равно 8, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно -4.
а) Сколько чисел написано на доске?
б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшое количество отрицательных чисел может быть среди них?

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:57 PM | Сообщение # 17

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

В1
Вариант2:
Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 68 км в час? (Считате, что миля равна 1.6 км.)
Решение:
68/1.6=42.5
ответ 42.5
Вариант9:
Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)
Решение:
36/1.6=22.5
ответ 22.5

В2
Вариант2:
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Элисте с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали- количество осадков, выпадавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа выпало ровно 1,5 мм осадков.
Решение:
15
Вариант9:
на рисунке жирными точками показано суточное количество осадков выпавших в Э. с 7 по 18 декабря 2001 года. По горизонтали указывается число месяца, по вертикали - количество осадков, выпавших в соответствующий день в миллиметрах. Для наглядности жирные точки соединены на рисунке линией. Определите по рисунку какого числа выпадет ровно 1,5 мм осадков.
Решение:
15

В3
Вариант2:
Найдите корень уравнения sqrt(60-3x)=6
Решение:
60-3x=36
3x=24
x=8
Вариант9:
Найдите корень уравнения sqrt(57-2*x) = 7
Решение:
sqrt(57-2*x) = 7
57-2*x = 49
2*x=8
x=4
ответ 4

В4
Вариант2:
В треугольнике ABC AD -биссектриса, угол С равен 62*, а угол CAD - 32*. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.
Решение:
B=180-62-2*32=54 град
Вариант7:
в треугольнике ABC AD - биссектрисса, угол С равен 64 градуса, угол CAD равен 36 градусов. Найдите угол B. О
твет дайте в градусах
Решение:
B=180-64-36*2=44

В5
Вариант2:
Строительной фирме нужно приобрести 50 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.
Поставщик Цена бруса(за 1 м^3) Стоимость доставки Доп. услуги
(руб. за 1 м^) ( в рублях)
А 3 500 9 900 ---------
Б 4 500 7 900 при заказе свыше 150тыс.доставка бесплатна
В 3 600 7 900 при заказе свыше 200тыс.доставка бесплатна
Решение:
3500*50+9900=184900
Вариант9:
Наименование продукта/Новгород/Курск/Екатеринбург
Пшеничный хлеб(батон)/13/10/16
Молоко(1литр)/25/21/27
Картофель/9/13/16
Сыр(1кг)/260/220/270
Мясо(говядина,1кг)/280/240/300
Подсолнечно мясло(1литр)/38/44/50

Определите в каком из этих городов окажется самым дешевым следующий набор продуктов: 3 батона пшеничного хлеба, 3 кг картофеля, 1 л подсолнечного масла. В ответ запишите стоимость данного набора продуктов в этом городе(в рублях)
Решение:
1) 13*3+9*3+38=104
2) 10*3+13*3+44= 113
3) 16*3 + 16*3 +50 = 146

ответ 104

В6
Вариант2:
Найдите площадь треугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 см (смотрите на рисунке) Ответ дайте в квадратных сантиметрах
Решение:
6
Вариант9:
Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 3 см (см. рис.) Ответ дайте в квадратнх сантиметрах.
Решение:
(9+4)*2*0.5=13
ответ 13

В7
Вариант2:
Найдите cos A,если sinaA= v51\10 и A принадлежит (0;П/2)
Решение:
cos a= sqrt(1-51/100)=+-0,7
cos a=0,7, так как a in (0;pi/2i)
Вариант9:
Найдите sinA,усли cosA=(2sqrt6)5 и А принадлежит (0;П/2)
Решение:
((2*sqrt(6))/5)^2=24/25
sqrt(1-(24/25))=0.2

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:58 PM | Сообщение # 18

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

В8
Вариант2:
На рисунке изображены график функций y=f(x) и касательная к этому графику,проведенная в точке с абсциссой в х0. Найдите значение производной в функции f(x) в точке х0.
Решение:
0,6
Вариант9:
На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение:
3

В9
Вариант2:
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 64 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 4 раза больше диаметра первого. Ответ выразите в см.
Решение:
Объём жидкости в первом сосуде равен 64*pi*r^2, где r - радиус основания цилиндрического сосуда, 64см - высота. При переливании объём не изменился. Выразим этот же объём жидкости во втором сосуде, у которого диаметр в 4 раза больше, то есть и радиус основания в 4 раза больше:
64*pi*r^2=h*pi*(4*r)^2, где h - уровень жидскости во втором сосуде.
64*pi*r^2=16*h*pi*r^2 (сокращаем на pi*r^2)
64=16*h
h=4.

Ответ: 4 см.

Вариант9:
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите высоту цилиндра.
Решение:
36=(3*2)*(3*2)*h
36=36h
h=1

В10
Вариант2:
В ходе распада радиактивного изотопа его масса уменьшается по закону m®=m_0*2^(-T/t), где m_0 (мг) - начальная масса изотопа, t (мин.) - время, прошедшее от начала момента, T (мин.) - период полураспада. Вначальный момент времени масса изотопа m_0=400 мг. Период его полураспада T=5 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 25 мг?
Решение:
Подставляем известные данные в формулу и решаем ур-е с t:
25=400*2^(-t/5)
2^(-t/5)=25/400
2^(-t/5)=1/16
2^(-t/5)=2^(-4)
-t/5=-4
t=20

Ответ: через 20 минут.
Вариант9:
В ходе распада радиактивного изотопа его масса уменьшается по закону m®=mo*2^(???),где mo(mr)-начальная масса изотопа t (мин) -время прошедшее от начального момента Т (мин)-период полураспада В начальный момент времени масса изотопа mo=50мг.Период его полураспада Т=5 мин . Через сколько минут масса изотопа будет равна 12.5 мг?
Решение:
Подставляем известные данные в формулу и решаем ур-е с t:
12,5=50*2^(-t/5)
2^(-t/5)=12,5/50
2^(-t/5)=1/4
2^(-t/5)=2^(-2)
-t/5=-2
t=10

Ответ: через 10 минут.

В11
Вариант2:
Найдите наибольшее значение финкцмм y=x^3+7x^2+8x-8 на отрезке [-6;-3].
Решение:
max = 8
Вариант9:
найдите наименьшее значение функции y=x^3-x^2-8x+4 на отрезке [1;7]
Решение:
y`=3x^2-2x-8
3x^2-2x=0
x1=-4/3
x2=2
min{x^3-x^2-8 x+4} = -8 at x = 2

ответ -8

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:58 PM | Сообщение # 19

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

В12
Вариант2:
Лодка в 9:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте B 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 тго же дня. Определите (в км/ч) совственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч.
Решение:
x (км/ч) - скорость лодки.
(х+1) (км/ч) - скорость лодки по течению.
(х-1) (км/ч) скорость лодки против течения.
15/(x-1) (ч) - время из из одного пункста в другой.
15/(x+1) (ч) - время в обратную сторону.
В пути лодка была 10-2=8 часов.
Составим ур-е:
15/(x-1) (ч) + 15/(x+1) = 8
Приводим к общему знаемнателю (х-1)*(х+1) и домножаем на него, т.к. он не равен нулю:
15*х+15+15*х-15 - 8*х^2 +8=0
-8*х^2 +30*х +8=0 (умножаем на -1)
8*х^2 -30*х -8=0 (сокращаем на 2)
4*х^2 -15*х -4=0
D=289
х1=4 (удовл)
х2=-0,25 (не удовл)

Ответ: 4 км/ч
Вариант7:
Лодка в 9:00 вышла из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте B 2 часа, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 19:00 тго же дня. Определите (в км/ч) совственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч.
x (км/ч) - скорость лодки.
(х+1) (км/ч) - скорость лодки по течению.
(х-1) (км/ч) скорость лодки против течения.
15/(x-1) (ч) - время из из одного пункста в другой.
15/(x+1) (ч) - время в обратную сторону.
В пути лодка была 10-2=8 часов.
Составим ур-е:
15/(x-1) (ч) + 15/(x+1) = 8
Приводим к общему знаемнателю (х-1)*(х+1) и домножаем на него, т.к. он не равен нулю:
15*х+15+15*х-15 - 8*х^2 +8=0
-8*х^2 +30*х +8=0 (умножаем на -1)
8*х^2 -30*х -8=0 (сокращаем на 2)
4*х^2 -15*х -4=0
D=289
х1=4 (удовл)
х2=-0,25 (не удовл)

Ответ: 4 км/ч

С1
Вариант2:
решите уравнение (2sin(x)^2-1)/sqrt(-cos(x))=0
Решение:
(2sin^2 x -1)/(sqrt (-cos x ))=0
Вариант16:
Решите уравнение (4*sin^2(x) + 8*sin(x) - 5) * log_?? (-cos(x)) = 0.
Решение:
(4sin^2(x)+8sinx-5)*log_16 (-cosx)=0
ОДЗ:
-cosx>0; cosx<0
Произведение двух чисел равно нулю когда одно из них равно нулю.
1). 4sin^2(x)+8sinx-5=0
sinx=t
4t^2+8t-5=0
D=64+80=144
t1=(-8+14)/8=0,75; sinx=3/4; x=(-1)^n arcsin(3/4) + Pi*n, n принадл. Z
t2=(-8-14)/8=-22/14; sinx=-22/14 нет решений.

2). log_16 (-cosx)=0
-cosx=1
cosx=-1; x=Pi + 2Pi*k, k принадлежит Z

С учетом ОДЗ получаем: х = Pi - arcsin(3/4) + 2Pi*n n принадл. Z
и x=Pi + 2Pi*k, k принадлежит Z

ОДЗ.
cos x <0

Дробь равна нулю на области определения тогда и только тогда, когда числитель равен 0.
2sin^2 x -1 = 0 <=> |sin x | = sqrt2/2 <=> sin x = +-sqrt 2/2 =>
x = {+-pi/4+2pi*k, k in ZZ} uuu{+-3pi/4 + 2pi*n, n in ZZ}
пересекаем с ОДЗ и получаем ответ:
Ответ: x = +-3pi/4 + 2pi*n, n in ZZ

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:58 PM | Сообщение # 20

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

С2
Вариант2:
в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра которой равны 4 ,найдите расстояние от точки В до прямой D1E1.
Решение:
Треугольник BCD - равнобедренный
/_ CBD=/_CDB=(180-120):2=30
/_DBA=120-30=90
т.к. BD_|_AB, то и D1B_|_AB (по теореме о трех перпендикулярах)
D1E1||AB =>BD1_|_D1E

BD=2(a sqrt 3)/2=asqrt 3=4 sqrt 3
Треугольник D1DB по теореме Пифагора
D1B^2=D1D^2+BD^2=16+16*3=16*4
D1B=8
Вариант16:
В прямоугольной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, стороны все ребра которой равны 3, найдите расстояние от точки С до прямой F1E1.
Решение:
В прямоугольнике CC1E1E, перпендикулярном с плоскостью основания, проводим диагональ CE1. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: E1F1 перпенд. EE1 и E1F1 перпенд. C1E1, то есть E1F1 перпенд. к любой прямой в (CC1E1E), а именно к CE1. Поэтому CE1 и есть искомое расстояние.

Найдём CE1 из треугольника CEE1. Для этого найдём CE из равнобедр.треугольника CDE по теореме косинусов, а угол CDE=180*(6-2)/6=120 (градусов): CE^2=3^2+3^2-2*3*3*cos(120 градусов)=18 - 18*(-0,5) = 27. Теперь по теореме Пифагора CE1^2=27+3^2=36, CE1=6.

Ответ: 6.

С3
Вариант2:
Решите неравенство 2log_7 (x^2+3x) / log_7 (x^2) <= 1.
Решение:
( 2Log_7 (x^2+3x) )/(log_7 (x^2) <=1

ОДЗ.
x^2!=0;
x^2!=1
x^2+3x>0

=>
x in (-oo;-3)uuu(0;1)uuu(1;+oo)

перепишем как:
2log_(x^2) (x^2+3x)<=1

1) x in (0;1)
x^2+3x>= |x| = x
x^2+2x>=0
x in (-oo;-2]uuu[0;+oo) -
x in (0;1)

2) x in (-oo;-3)uuu(1;+oo)
x^2+3x<=|x|
2а) x in (-oo;-3)
x^2+4x <=0 => x in [-4;0].
Пересекаем. Решение x in [-4;-3)

2б) x in (1;+oo)
x^2+2x<=0 => x in [-2;0]
=> нет решений.

Ответ: x in [-4;-3)uuu (0;1)
Вариант16:
Решите неравенство 2*log_??? (x^???-5*x) / log_??? x^2 <= 1
Решение:
2*log_5 (x^2 - 5x) / log_5 x^2 <= 1
ОДЗ:
x^2 - 5x>0 x(x-5)>0 (-беск; 0) и (5; + беск)
x^2>0 x не равно 0
log_5 x^2 не равно 0; x^2 не равно 1 ; x не равно +/- 1

Решение:
(2*log_5 (x^2 - 5x) - log_5 x^2)) / log_5 x^2 <= 0
(log_5 (x^2 - 5x)^2 - log_5 x^2)) / (log_5 x^2 - log_5 1)<= 0
((x^2 - 5x)^2 - x^2)) / (x^2 - 1)<= 0
(x^2 - 5x-x)(x^2-5x+x) / (x-1)(x+1)<= 0
x(x-6)x(x-4) / (x-1)(x+1)<= 0
Решаем методом интервалов:
(-1; 1) и [4; 6]
Пересекаем с ОДЗ:
Ответ: (-1; 0) и (5; 6]

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:58 PM | Сообщение # 21

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

С4
Вариант2:
треугольнике PQR угол R -прямой ,RA-высота QB-медиана. прямые AB и QR пересекаются в точке C,лежащей на луче QR.
окружность проходящая через точки A и B,касается прямой QB в точке D.найдите DR ,если известно что BC=25 и AB=11
Решение:
Треугольник RAP - прямоугольный
АВ - медиана из прямого угла
АВ=1/2PR; PR=22; PB=BR=11
CD^2=AC*BC=25*36=900(по свойству касательной и секущей проведенных из одной точки)
CD=30
Треугольник CBR по теореме Пифагора
CR^2=BC^2-BR^2=625-121=504
CR=6 sqrt 14
DR=DC-CR=30-6 sqrt 14
второй случай)
Треугольник RAP - прямоугольный
АВ - медиана из прямого угла
АВ=1/2PR; PR=22; PB=BR=11
CD^2=AC*BC=25*36=900(по свойству касательной и секущей проведенных из одной точки)
CD=30
Треугольник CBR по теореме Пифагора
CR^2=BC^2-BR^2=625-121=504
CR=6 sqrt 14
DR=DC+CR=30+6 sqrt 14
Вариант10:
В треугольнике KLM угол L- прямой, LR - высота, MQ - медиана. Прямые QR = LM пересекаются в точке Р, лежащей на луче LM. Окружность, проходящая через точки Q и R, касается прямой LM в точке N. найдите LN, если известно, что QR = 9 и Q = 16.
Решение:
Треугольник LRK - прямоугольный
RQ - медиана из прямого угла
RQ=1/2 LK; LK=18; LQ=QK=9
PN^2=PQ*PR=16*7=112(по свойству касательной и секущей проведенных из одной точки)
PN=4 sqrt 7
Треугольник LQP по теореме Пифагора
LP^2=PQ^2-QL^2=256-81=175
LP=5 sqrt 7
LN=LP-PN=5 sqrt 7-4 sqrt 7=sqrt 7
второй случай
C4
Треугольник LRK - прямоугольный
RQ - медиана из прямого угла
RQ=1/2 LK; LK=18; LQ=QK=9
PN^2=PQ*PR=16*7=112(по свойству касательной и секущей проведенных из одной точки)
PN=4 sqrt 7
Треугольник LQP по теореме Пифагора
LP^2=PQ^2-QL^2=256-81=175
LP=5 sqrt 7
LN=LP+PN=5 sqrt 7+4 sqrt 7=9 sqrt 7

С5
Вариант3:
Найдите значения а, при каждом из которых система

{(x-3)^2 + (y-4)^2 = 9,
{y=|x-a|+1

Имеет ровно три различных решения
Решение:
ответ 3 значения для a = 6 - 3sqrt(2); 3; 3sqrt(2)

пояснения - прямая y=1 касается окружности 1го уравнения,
при увеличении a от минус беск "галочка" y = 1 + |x-a| с вершиной на прямой y=1 движется, вначале касаясь окружности в 1ой точке, потом, пересекая в 2х точках
(окрть протыкается лучом y = (x - a) + 1),
потом второй луч (y = (a - x) + 1) касается окружности в точке
( 3 - 3/sqrt(2); 4 - 3/sqrt(2)) = (3 - (3/2)sqrt(2); 4 - (3/2)sqrt(2)) - как раз в этот момент у системы ровно 3 различных решения. Соответствующее значение а находим , подставляя эту точку в ветвь
y = a - x +1; a = x + y - 1 = 6 - 3sqrt(2).....
Дижемся дальше - появляется 4 решения до момента попадания вершины "галочки" на "дно" окружности при a = 3;
дальше - из симметрии события разворачиваются в обратном направлении
появляется еще одна точка касания луча y = x - a +1 и окружности в точке
(3 + (3/2)sqrt(2); 4 - (3/2)sqrt(2))
значение а получаем аналогично a = x - y +1 = 3sqrt(2)
отсюда - выписанный выше ответ

ответ 3 значения для a = 6 - 3sqrt(2); 3; 3sqrt(2)
Вариант10:
Найдите все значения а, при каждом из которых система
{ (x-1)^? + (y-3)^? = 4,
{y=|x-a|+1
Решение:
ответ 3 значения для a = 3 - 2sqrt(2); 1; 2sqrt(2) - 1

пояснения - прямая y=1 касается окружности 1го уравнения,
при увеличении a от минус беск "галочка" y = 1 + |x-a| с вершиной на прямой y=1 движется, вначале касаясь окружности в 1ой точке, потом, пересекая в 2х точках
(окрть протыкается лучом y = (x - a) + 1),
потом второй луч (y = (a - x) + 1) касается окружности в точке
( 1 - 2/sqrt(2); 3 - 2/sqrt(2)) = (1 - sqrt(2); 3 - sqrt(2)) - как раз в этот момент у системы ровно 3 различных решения. Соответствующее значение а находим , подставляя эту точку в ветвь
y = a - x +1; a = x + y - 1 = 3 - 2sqrt(2).....
Дижемся дальше - появляется 4 решения до момента попадания вершины "галочки" на "дно" окружности при a = 1;
дальше - из симметрии события разворачиваются в обратном направлении
появляется еще одна точка касания луча y = x - a +1 и окружности в точке
(1 + sqrt(2); 3 - sqrt(2))
значение а получаем аналогично a = x - y +1 = 2sqrt(2) -1
отсюда - выписанный выше ответ

ответ 3 значения для a = 3 - 2sqrt(2); 1; 2sqrt(2) - 1

admin

Дата: Понедельник, 2011-06-06, 1:59 PM | Сообщение # 22

Наблюдаю...

Группа: Администраторы

Сообщений: 631

Репутация: 26

Награды: 55

Статус: Offline

Город: Москва

С6
Вариант2:
Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности , начиная со второго либо в 14 раз больше ,либо в 14 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 4321

а) может ли последовательность состоять из 2-х членов
б) может ли последовательность состоять из 3-х членов
в) какое наибольшее кол-во членов может быть в последовательности
Решение:
а) пусть 2 члена. Тогда один из них в 14 раз больше второго и их сумма +14b=15b=4321. Нет решения в натуральных числах.

б) пусть 3 члена. Например, 14b + b + 14b = 29b = 4321 => b = 149.
Ответ: 3 члена может быть: 14*149; 14;14*149

в) так как сумма всех членов фиксирована, то наибольшее число членов будет в том случае, когда будет как можно больше маленьких членов.

Будем брать самые маленькие члены:

1) 1;14;1;14 .. 1;14.
всего k штук пар.
их сумма равна 15k = 4321 => полных пар быть не может.

2) 1;14;1;14 .. 1;14; 1
всего k пар => сумма равна 15k+1=4321 => k=288
Таким образом, всего членов 2*288+1=577

3) по условию, первый член b!=1 должен делиться на 14 пусть b = 14.
14;1;14;1;14;1....;14;1;14.
k пар всего => сумма равна 15k+14=2231 =>этот случай невозможен

Т.к. среди членов прогрессии наибольшее число a_k=1, то это число и есть наибольшее.

Ответ:
а) нет ;
б) да:14*149; 14;14*149
в) 577
Вариант16:
Все члены последовательности являются натуральными числами. Каждый член этой последовательности , начиная со второго либо в 10 раз больше ,либо в 10 раз меньше предыдущего. Сумма всех членов последовательности равна 3024

а) может ли последовательность состоять из 2-х членов
б) может ли последовательность состоять из 3-х членов
в) какое наибольшее кол-во членов может быть в последовательности
Решение:
а) пусть 2 члена. Тогда один из них в 10 раз больше второго и их сумма b+10b=11b=3024. Нет решения в натуральных числах.

б) пусть 3 члена. Например, 10b + b + 10b = 21b = 3024 => b = 144.
Ответ: 3 члена может быть: 10*144; 144;10*144

в) так как сумма всех членов фиксирована, то наибольшее число членов будет в том случае, когда будет как можно больше маленьких членов.

Будем брать самые маленькие члены:

1) 1;10;1;10 .. 1;10.
всего k штук пар.
их сумма равна 11k = 3024 => полных пар быть не может.

2) 1;10;1;10 .. 1;10; 1
всего k пар => сумма равна 11k+1=3024 => этот случай невозможен

3) по условию, первый член b!=1 должен делиться на 10ю пусть b = 10.
10;1;10;1;10;1....;10;1;10.
k пар всего => сумма равна 11k+10=3024 =>k = 274.
Таким образом, всего членов 2*274+1=549

Т.к. среди членов прогрессии наибольшее число a_k=1, то это число и есть наибольшее.

Ответ:
а) нет ;
б) да:10*144; 144;10*144
в) 549